Konkrétní kategorie

Konkrétní kategorie je v matematice, v teorii kategorií, kategorie s injektivním funktorem do kategorie množin (případně do jiné kategorie viz relativní konkrétnost). Tento funktor umožňuje pokládat objekty této kategorie za množiny s přidanou strukturou a její morfismy za funkce, které tuto strukturu zachovávají. Mnoho důležitých kategorií má zjevnou reprezentaci jako konkrétní kategorie, např. kategorie topologických prostorů, kategorie grup a triviálně sama kategorie množin. Na druhou stranu kategorie homotopií topologických prostorů není konkretizovatelná, čili nemá injektivní funktor do kategorie množin.

Pokud je konkrétní kategorie definována bez odkazu na pojem kategorie, sestává ze třídy objektů, z nichž pro každý existuje podkladová množina, a pro každé dva objekty A a B existuje množina funkcí nazývaných morfismy, z podkladové množiny A do podkladové množiny B. Navíc pro každý objekt A musí být funkce identity na podkladové množině A morfismem z A do A, a složení morfismus z A do B a morfismu z B do C musí být morfismus z A do C.

Definice

Konkrétní kategorie je dvojice (C,U), taková, že

• C je kategorie
• U : C → Set (kategorie množin a funkcí) je věrný funktor.

Funktor U se považuje za zapomínající funktor (anglicky forgetful functor), který přiřazuje každému objektu z C podkladovou množinu a každému morfismu v C podkladovou funkci.

Kategorie C je konkretizovatelná, pokud existuje konkrétní kategorie (C,U). Tj. pokud existuje věrný funktor U: C → Set. Všechny malé kategorie jsou konkretizovatelné: definujeme U tak, že její objektová část zobrazuje každý objekt b kategorie C na množinu všech morfismů C jejichž obor hodnot je b (tj. všechny morfismy tvaru f: a → b pro libovolný objekt a kategorie C) a její morfismová složka zobrazuje každý morfismus g: b → c kategorie C na funkci U(g): U(b) → U(c), která zobrazuje každý člen f: a → b z U(b) na složení gf: a → c, což je člen U(c). (Položka 6 v části Další příklady vyjadřuje stejné U v složitějším jazykem předsvazků (anglicky presheaves). V části Protipříklady jsou uvedeny dvě velké kategorie, které nejsou konkretizovatelné.

Poznámky

Konkrétnost kategorie není navzdory intuici vlastnost, kterou kategorie splňuje nebo nesplňuje, ale spíše struktura, kterou kategorie může ale nemusí být vybavena. Speciálně daná kategorie může mít několik injektivních funktorů do Set. proto může existovat několik konkrétních kategorií (C, U), které všechny odpovídají téže kategorii C.

V praxi je však volba věrného funktoru často jasná a v tomto případ jednoduše mluvíme o konkrétní kategorii C. Například konkrétní kategorie Set znamená dvojici (Set, I), kde I označuje funktor identity Set → Set.

Požadavek, aby U byl věrný, znamená, že přiřazuje různým morfismům mezi stejnými objekty na různé funkce. Ale U může přiřazovat různým objektům stejnou množinu, a pokud k tomu dojde, bude také přiřazovat různým morfismům stejnou funkci.

Pokud například S a T jsou dvě různé topologie na stejné množině X, pak (X, S) a (X, T) jsou různé objekty v kategorii Top topologických prostorů a spojitých zobrazení, kterým je ale zapomínajícím funktorem Top → Set přiřazena stejná množina X. Navíc morfismus identity (X, S) → (X, S) a morfismus identity (X, T) → (X, T) jsou považovány za různé morfismy v Top, které ale mají stejnou podkladovou funkci, jmenovitě funkci identity na X.

Podobně k libovolné čtyřprvkové množině lze přiřadit dvě neizomorfní grupové struktury; jednu izomorfní s $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, a druhou izomorfní s $\mathbb {Z} /4\mathbb {Z}$.

Další příklady

1. Libovolnou grupu G lze považovat za „abstraktní“ kategorii s jedním libovolným objektem $\ast$, a jedním morfismem pro každý prvek grupy. Výsledek není konkrétní podle intuitivní koncepce popsané v úvodu tohoto článku. Ale každá věrná G-množina (ekvivalentně, každá reprezentace grupy G jako grupy permutací) určuje věrný funktor G → Set. Protože každá grupa má věrnou akci na sobě samé, G lze učinit konkrétní kategorií alespoň jedním způsobem.
2. Podobně libovolná uspořádaná množina P může být považována za abstraktní kategorii s unikátní šipkou x → y, když x ≤ y. Tuto kategorii lze učinit konkrétní definováním funktoru D : P → Set, který převádí každý objekt x na $D(x)=\{a\in P:a\leq x\}$ a každou šipku x → y na kanonické vložení $D(x)\hookrightarrow D(y)$.
3. Kategorii Rel, jejímiž objekty jsou množiny a, jejímiž morfismy jsou relace, lze udělat konkrétní kategorií definováním U tak, že zobrazuje každou množinu X na svou potenční množinu $2^{X}$ a každou relaci $R\subseteq X\times Y$ na funkci $\rho :2^{X}\rightarrow 2^{Y}$ definovanou vztahem $\rho (A)=\{y\in Y\mid \exists \,x\in A:xRy\}$. Všimněte se, že potenční množiny jsou úplné svazy s operací inkluze, tyto funkce mezi nimi, které tímto způsobem vznikají z nějaké relace R jsou právě zobrazeními, která zachovávají supremum. Rel je tedy ekvivalentní s plnou podkategorií kategorie Sup úplných svazů a jejich supremum zachovávajícím zobrazením. Pokud naopak vyjdeme z této ekvivalence, můžeme získat U jako složení Rel → Sup → Set zapomínajícího funktor pro Sup s tímto vnořením Rel do Sup.
4. Kategorii Set^op lze vnořit do Rel reprezentováním každé množiny sebou samou a každé funkce f: X → Y relací z Y na X definované jako množina dvojic (f(x), x) pro všechna x ∈ X; tedy Set^op je konkretizovatelná. Zapomínající funktor, který vznikne tímto způsobem, je kontravariantní potenční funktor Set^op → Set.
5. Z předchozího příkladu vyplývá, že opačnou kategorií libovolné konkretizovatelné kategorie C je opět konkretizovatelná kategori, protože pokud U je věrný funktor C → Set pak C^op může být opatřen složeným funktorem C^op → Set^op → Set.
6. Pokud C je libovolná malá kategorie, pak existuje věrný funktor P : Set^Cop → Set který převádí předsvazek X na koprodukt $\coprod _{c\in \mathrm {ob} C}X(c)$. Jeho složením s Jonedovým vnořením Y:C → Set^Cop dostáváme věrný funktor C → Set.
7. Z technických důvodů kategorie Ban₁ Banachových prostorů a lineární stažení je často opatřena ne „zjevným“ zapomínajícím funktorem ale funktorem U₁ : Ban₁ → Set, který převádí Banachův prostor na jeho (uzavřenou) jednotkovou kouli.
8. Kategorie Cat, jejímiž objekty jsou malé kategorie a, jejímiž morfismy jsou funktory lze vytvořit konkrétní by posláním každé kategorie C na množinu obsahující její objekty a morfismy. Funktory lze jednoduše vidět jako funkce působící na objekty a morfismy.

Protipříklady

Kategorie hTop, jejímiž objekty jsou topologické prostory a morfismy jsou třídy homotopie spojitých funkcí, je příkladem kategorie, která není konkretizovatelná. Zatímco objekty jsou množiny (s další strukturou), morfismy nejsou skutečné funkce mezi nimi, ale spíše třídy funkcí. Skutečnost, že neexistuje žádný věrný funktor z hTop na Set poprvé prověřil Peter Freyd. V stejném článka Freyd cituje dřívější výsledek, že kategorie „malých kategorií a přirozených ekvivalencí-třídy funktorů“ také není konkretizovatelná.

Implicitní struktura konkrétních kategorií

Pokud je dána konkrétní kategorie (C, U) a kardinální číslo N, pak nechť U^N je funktor C → Set takový, že U^N(c) = (U(c))^N. Pak podfunktor U^N se nazývá N-ární predikát a přirozená transformace U^N → U se nazývá N-ární operace.

Třída všech N-árních predikátů a N-árních operací konkrétní kategorie (C,U), s N procházejícím třídu všech kardinálních čísel, tvoří velkou signaturu. Kategorie modelů této signatury pak obsahuje plnou podkategorii, která je ekvivalentní s C.

Relativní konkrétnost

V určité části teorie kategorií, především v teorii toposů, je obvyklé používat místo kategorie Set mírně odlišnou kategorii X, často nazývanou bázová kategorie. Z tohoto důvodu dává smysl nazývat dvojici (C, U), kde C je kategorie a U věrný funktor C → X konkrétní kategorií nad X. Může být například užitečné uvažovat o modelech teorie s N sortami, že tvoří konkrétní kategorie nad Set^N.

V tomto kontextu se konkrétní kategorie nad Set někdy nazývá konstrukt.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Concrete category na anglické Wikipedii.

Literatura

• ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E., 1990. Abstract and Concrete Categories. [s.l.]: John Wiley & Sons. Dostupné online. ISBN 0-471-60922-6. Původně publikováno v nakladatelství John Wiley & Sons. 
• FREYD, Peter, 1970. Homotopy is not concrete. Theory and Applications of Categories. Roč. 2004, čís. 6. Původně publikováno v The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168, Springer-Verlag. Dostupné online. 
• MAC LANE, Saunders; BIRKHOFF, Garrett, 1999. Algebra. 3. vyd. [s.l.]: AMS Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2. 
• ROSICKÝ, Jiří, 1981. Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra. Roč. 22, čís. 3. Dostupné online.